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排列组合公式

时间:2020-07-20 11:12:52作者:黎梓扬
目录
1.排列组合的公式2.排列组合公式3.排列组合中A和C怎么算啊4.【排列组合】排列组合公式中的A和C公式是什么 到底表达了什么 是什么意思 到底怎么用5.排列组合A几几C几几的,有什么区别,都怎么计算来的?6.排列组合A几几的 C几几的怎么算7.求排列组合的展开公式8.数学排列组合公式都有哪些9.排列组合的公式有哪些?10.排列组合的基本公式。

排列组合的公式

排列组合计算公式如下

1、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示。

2、从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

排列组合的发展历程

根据组合学研究与发展的现状,它可以分为如下五个分支经典组合学、组合设计、组合序、图与超图和组合多面形与最优化。

由于组合学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支,也许和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论。

然而,如何在上述的五个分支的基础上建立一些统一的理论,或者从组合学中独立出来形成数学的一些新分支将是对21世纪数学家们提出的一个新的挑战。

—排列组合

排列组合公式

举个例子1,2,3,4,C(4.2)表示4个数字中选2个,不考虑顺序C(4.2)=4*3/1*2=6.1,2,3,4,A(4.2)表示4个数字中选2个,考虑顺序.A(4.2)=4*3=12.我只拿这个东西算过双色球,其他地方还没发现能用上.C(M.N)=M*(M1)(M2)……(MN)/1*2*3……*N(M为下标,N为上标)A(M.N)=M*(M1)(M2)……(MN)(M为下标,N为上标)排列、组合、二项式定理公式口诀加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。

排列组合中A和C怎么算啊

1、排列组合中,组合的计算公式为

2、计算举例

一个正整数的阶乘,是所有小于及等于该数的正整数的积,并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。年,基斯顿·卡曼引进这个表示法。亦即n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递归方式定义0!=1,n!=(n1)!×n。

当m是自然数时,表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积。如下图所示

_排列组合_阶乘

组合用符号C(n,m)表示,m≦n。

公式是C(n,m)=A(n,m)/m!或C(n,m)=C(n,)。

例如C(5,3)=A(5,3)/[3!x(53))!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10.

排列用符号A(n,m)表示,m≦n。

计算公式是A(n,m)=n(n1)(n2)……(+1)=n!/!

此外规定0!=1,n!表示n(n1)(n2)…1

例如6!==720,4!=4x3x2x1=24。

排列组合中的基本计数原理

加法原理和分类计数法

(1)加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+种不同方法。

(2)第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

(3)分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。

【排列组合】排列组合公式中的A和C公式是什么 到底表达了什么 是什么意思 到底怎么用

A是排列,与次序有关;C是组合,与次序无关。

1、排列

有限集的子集按某种条件的序化法排成列、排成一圈、不许重复或许重复等。

从n个不同元素中每次取出m(1≤m≤n)个不同元素,排成一列,称为从n个元素中取出m个元素的无重复排列或直线排列,简称排列。

2、组合

从n个不同元素中每次取出m个不同元素(0≤m≤n),不管其顺序合成一组,称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。

所有这样的组合的总数称为组合数,这个组合数的计算公式为

排列组合的难点

1、从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力;

2、限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解;

3、计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大;

4、计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。

排列组合计算方法如下

排列A(n,m)=n×(n1).(+1)=n!/()!(n为下标,m为上标,以下同)

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!()!;

例如

A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

A是排列,与次序有关;C是组合,与次序无关。

1,排列

有限集的子集按某种条件的序化法排成列、排成一圈、不许重复或许重复等。

从n个不同元素中每次取出m(1≤m≤n)个不同元素,排成一列,称为从n个元素中取出m个元素的无重复排列或直线排列,简称排列。

注当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同,则两个排列相同。

2,组合

从n个不同元素中每次取出m个不同元素(0≤m≤n),不管其顺序合成一组,称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。

所有这样的组合的总数称为组合数,这个组合数的计算公式为

或者

n元集合A中不重复地抽取m个元素作成的一个组合实质上是A的一个m元子集合。

排列组合常见方法

一、相邻问题捆绑法。

相邻,指相邻的多个元素;捆绑,就是把相邻的多个元素看成一个整体。

二、相离问题插空法。

相离,即不相邻,在不相邻的元素中插入其他元素。

三、定序问题缩倍法。

定序就是在排列中让几个元素保持一定的顺序,这类题目用缩小倍数的解法比较方便。

四、标号排位问题分步法。

五、有需分配问题逐分法。

六、多元问题分类法。

七、交叉问题集合法。

排列组合A几几C几几的,有什么区别,都怎么计算来的?

排列组合A和C计算方法有哪些百度经验

1、区别

排列数就是从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

组合数是指从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(m,n)表示。

例从26个字母中选5个

排列A(26,5)表示的是从26个字母中选5个排成一列;即ABCDE与ACBDE与ADBCE等这些是不一样的。

组合C(26,5)表示的是从26个字母中选5个没有顺序;即ABCDE与ACBDE与ADBCE等这些是一样的。

2、计算

(1)排列数公式

排列用符号A(n,m)表示,m≦n。

计算公式是A(n,m)=n(n1)(n2)……(+1)=n!/!

此外规定0!=1,n!表示n(n1)(n2)…1

例如6!==720,4!=4x3x2x1=24。

(2)组合数公式

组合用符号C(n,m)表示,m≦n。

公式是C(n,m)=A(n,m)/m!或C(n,m)=C(n,)。

例如C(5,2)=A(5,2)/[2!x(52)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10。

排列有两种定义,但计算方法只有一种,凡是符合这两种定义的都用这种方法计算;定义的前提条件是m≦n,m与n均为自然数。

(1)从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

(2)从n个不同元素中,取出m个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

组合数公式

排列组合A几几的 C几几的怎么算

A是排列,C是组合。

A(3,2)=3×2,

写的时候等号左边3是下标,2是上标,等号右边从下标3开始,连续乘上标2个数字,每个数字都比前面小1。

C(3,2)=(3×2)÷(2×1)=3,或者C(3,2)=3!÷2!÷(32)!=(3×2)÷(2×1)÷1=3,

写的时候等号左边3是下标,2是上标,等号右边的分子从下标3开始,连续乘上标2个数字,每个数字都比前面小1,分母从上标2开始,连续乘上标2个数字,每个数字都比前面小1;或者用上标的阶乘,除以下标的阶乘,再除以上标与下标的差的阶乘。

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

排列、组合、二项式定理公式口诀

加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。

两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。

排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。

不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。

关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。

。排列组合

例如A32(3在下面2在上面)=3*2=6

C32(3在下面2在上面)=(3*2)/(2*1)=3

它的计算公式是这样的

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

求排列组合的展开公式

1、排列的时候举个例子A(下角标为n,上角标为r)。意思是n个元素中取出r个进行全排列。可以这样理解有r个空穴需要放着r个元素有多少种方法。第一个空穴有n个选择,第二个空穴有n1个选择,所以有n!/!。2、组合的时候举个例子C(下角标为n,上角标为r)。意思可以是有n个元素从中取出r个,注意这里不用进行排列,取出即达到目的。可以这样理解//////按照前面的空穴解法排列有n!/!但是进行了排序比如6个元素里面选了3个排列有120种但是组合就不是了取出一种组合123排列的方法有3!=6种所以组合有120/6=20//////////所以组合有n!/[!*r!]

数学排列组合公式都有哪些

排列的定义从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示。

计算公式

此外规定0!=1(n!表示n(n1)(n2)...1,也就是6!=[1]

组合的定义从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。

计算公式

;C(n,m)=C(n,)。(n≥m)

其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...这n个元素的全排列数为n!/(n1!×n2!×...×!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为C(m+k1,m)。

符号

常见的一道题目

组合数[2]

排列数(在旧教材为)

N元素的总个数

M参与选择的元素个数

!阶乘

基本计数原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,在

组合恒等式(2张)

第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×种不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

组合数的奇偶

奇偶定义对组合数C(n,k)(n&;=k)将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1,则C(n,k)为偶数;否则为奇数。

下面是判定方法

结论

对于C(n,k),若n&;k==k则c(n,k)为奇数,否则为偶数。

证明

对于C(n,k),若n&;k==k则c(n,k)为奇数,否则为偶数。

证明

利用数学归纳法

由C(n,k)=C(n1,k)+C(n1,k1);

对应于杨辉三角

1

11

121

1

………………

可以验证前面几层及k=0时满足结论,下面证明在C(n1,k)和C(n1,k1)(k&;0)满足结论的情况下,

C(n,k)满足结论。

1).假设C(n1,k)和C(n1,k1)为奇数

则有(n1)&;k==k;

(n1)&;(k1)==k1;

由于k和k1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位,下同)必然是不同的,所以n1的最后一位必然是1

现假设n&;k==k。

则同样因为n1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因为n1的最后一位是1,则n的最后一位是0,所以n&;k!=k,与假设矛盾。

所以得n&;k!=k。

2).假设C(n1,k)和C(n1,k1)为偶数

则有(n1)&;k!=k;

(n1)&;(k1)!=k1;

现假设n&;k==k.

则对于k最后一位为1的情况

此时n最后一位也为1,所以有(n1)&;(k1)==k1,与假设矛盾。

而对于k最后一位为0的情况

则k的末尾必有一部分形如10;代表任意个0。

相应的,n对应的部分为1{*}*;*代表0或1。

而若n对应的{*}*中只要有一个为1,则(n1)&;k==k成立,所以n对应部分也应该是10。

则相应的,k1和n1的末尾部分均为01,所以(n1)&;(k1)==k1成立,与假设矛盾。

所以得n&;k!=k。

由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时,n&;k!=k。

3).假设C(n1,k)为奇数而C(n1,k1)为偶数

则有(n1)&;k==k;

(n1)&;(k1)!=k1;

显然,k的最后一位只能是0,否则由(n1)&;k==k即可推出(n1)&;(k1)==k1。

所以k的末尾必有一部分形如10;

相应的,n1的对应部分为1{*}*;

相应的,k1的对应部分为01;

则若要使得(n1)&;(k1)!=k1则要求n1对应的{*}*中至少有一个是0.

所以n的对应部分也就为1{*}*;(不会因为进位变1为0)

所以n&;k=k。

4).假设C(n1,k)为偶数而C(n1,k1)为奇数

则有(n1)&;k!=k;

(n1)&;(k1)==k1;

分两种情况

当k1的最后一位为0时

则k1的末尾必有一部分形如10;

相应的,k的对应部分为:11;

相应的,n1的对应部分为:1{*}0;(若为1{*}1,则(n1)&;k==k)

相应的,n的对应部分为:1{*}1;

所以n&;k=k。

当k1的最后一位为1时

则k1的末尾必有一部分形如01;(前面的0可以是附加上去的)

相应的,k的对应部分为:10;

相应的,n1的对应部分为:01;(若为11,则(n1)&;k==k)

相应的,n的对应部分为:10;

所以n&;k=k。

由3),4)得出当C(n,k)为奇数时,n&;k=k。

综上,结论得证。

排列组合的公式有哪些?

排列的定义及其计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示。A(n,m)=n(n1)(n2)……(+1)=n!/!此外规定0!=1排列组合组合的定义及其计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)∧2/m!=A(n,m)/m!;C(n,m)=C(n,)。(其中n≥m)其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...这n个元素的全排列数为n!/(n1!×n2!×...×!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为C(m+k1,m)。1、加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+种不同方法。⒉、第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。⒊、分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。⑵乘法原理和分步计数法⒈、乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×种不同的方法。⒉、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。

排列组合的基本公式。

列组合公式/排列组合计算公式

排列p和顺序有关

组合c不牵涉到顺序的问题

排列分顺序,组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

1.排列及计算公式

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n1)(n2)……(+1)=n!/!(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m)表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(!*m!);c(n,m)=c(n,);

3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r!.

n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k1,m).

排列((n为下标,m为上标))

=n×(n1)....(+1);=n!/()!(注!是阶乘符号);(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;1(n为下标1为上标)=n

组合((n为下标,m为上标))

=/;=n!/m!()!;(两个n分别为上标和下标)=1;1(n为下标1为上标)=n;=

:30

公式p是指排列,从n个元素取r个进行排列。公式c是指组合,从n个元素取r个,不进行排列。n元素的总个数r参与选择的元素个数!阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从n倒数r个,表达式应该为n*(n1)*(n2)..(+1);

因为从n到(+1)个数为n-(+1)=r

举例

q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?

a1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列p”计算范畴。

上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有91种可能,个位数则应该只有911种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=p(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积)

q2:有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?

a2:213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合c”计算范畴。

上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数c(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.

(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.

例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?

解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出

∴符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.

(1)高三年级学生会有11人①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?

(2)高二年级数学课外小组共10人①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

(4)有8盆花①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?

分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.

(1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).

(2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.

(3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.

(4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.

例4证明.

证明左式

右式.

∴等式成立.

点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.

例5化简.

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.

例6解方程(1);(2).

解(1)原方程

解得.

(2)原方程可变为

∵,,

∴原方程可化为.

即,解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?

解5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35(种)

(二)排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于0的偶数共有

a.60个b.48个c.36个d.24个

解因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有p12;小于0的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有p13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有p33,得p13p33p12=36(个)

由此可知此题应选c.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即,,;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为

3p13=9(种).

例四例五可能有问题,等思考

三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有

a.140种b.84种c.70种d.35种

解抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有c14·c25种;甲型2台乙型1台的取法有c24·c15种

根据加法原理可得总的取法有

c24·c25+c24·c15=40+30=70(种)

可知此题应选c.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?

解甲公司从8项工程中选出3项工程的方式c38种;

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有c15种;

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有c24种;

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有c22种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有c38×c15×c24×c22=×1=(种).

(四)二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它是常用的基础知识,从年至年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题.

例6在(x)10的展开式中,x6的系数是

a.27c610b.27c410c.9c610d.9c410

解设(x)10的展开式中第γ+1项含x6,

因tγ+1=cγ10x10γγ,10γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x6,第5项系数是c4104=9c410

故此题应选d.

例7(x1)(x1)2+(x1)3(x1)+(x1)5的展开式中的x2的系数等于

解此题可视为首项为x1,公比为(x1)的等比数列的前5项的和,则其和为

在(x1)6中含x3的项是c36x3(1)3=20x3,因此展开式中x2的系数是20.

(五)综合例题赏析

例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值为

a.1b.1c.0d.2

解a.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有

a.6种b.12种c.18种d.24种

解分医生的方法有p22=2种,分护士方法有c24=6种,所以共有6×2=12种不同的分配方法。

应选b.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同取法共有.

a.140种b.84种c.70种d.35种

解取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

∵c24·+c25·c14=5×6+10×4=70.

∴应选c.

例11某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同选法有

a.27种b.48种c.21种d.24种

解分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类

∵c13·c17+c23=3×7+3=24,

∴应选d.

例12由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有.

a.210个b.300个

c.464个d.600个

解先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有p15·p55=600个.

由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

∴有×600=300个符合题设的六位数.

应选b.

例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有.

a.70个b.64个

c.58个d.52个

解如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为c48=70个.

其中共面四点分3类构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如(1c1)的有4组.

∴能形成四面体的有4=58(组)

应选c.

例14如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有.

a.12对b.24对

c.36对d.48对

解设正六棱锥为o—.

任取一侧棱(c16)则与、、、均形成异面直线对.

∴共有c16×4=24对异面直线.

应选b.

例15正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形共个(以数字作答).

解7点中任取3个则有c37=35组.

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).

∴三角形个数为353=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为s,其中由3个元素组成的子集数为t,则的值为。

解10个元素的集合的全部子集数有

s=c010+c110+c210+c310+c410+c510+c610+c710+c810+c910+c=210=

其中,含3个元素的子集数有t=c310=120

故=

例17例17在50件产品n中有4件是次品,从中任意抽了5件,至少有3件是次品的抽法共

种(用数字作答).

解“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴c34·c246+c44·c146=(种)

例18有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有.

a.种b.种

c.种d.种

解先从10人中选2个承担任务甲(c210)

再从剩余8人中选1人承担任务乙(c18)

又从剩余7人中选1人承担任务乙(c17)

∴有c210·c18c17=(种).

应选c.

例19集合{1,2,3}子集总共有.

a.7个b.8个c.6个d.5个

解三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的子集数

c13,由二个元素组成的子集数c23。

由3个元素组成的子集数c33。由加法原理可得集合子集的总个数是

c13+c23+c33+1=3+3+1+1=8

故此题应选b.

例20假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有两件次品的抽法有.

a.c23c种b.c23c+c33c

c..

解5件中恰有二件为次品的抽法为c23c,

5件中恰三件为次品的抽法为c33c,

∴至少有两件次品的抽法为c23c+c33c.

应选b.

例21两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一个座位),则不同座法的总数是.

a.c58c38b..p58p38

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